A Newton-Leibniz

Az alkalmazások többsége kiszámítani a pontos értékét határozott integrál nem tanácsos, sőt, ez nem mindig lehetséges. Tudjuk, hogy van elég gyakran az értéke egy határozott integrál bizonyos fokú pontosság, például pontossággal ezredrésze.

Ahhoz, hogy megtalálja egy közelítő értéket a határozott integrál a szükséges pontosságú numerikus integrálása használnak, például Simpson eljárást (A módszer parabola). trapezoid módszer vagy téglalap módszerrel. Azonban lehet számítani a határozott integrál pontosan bizonyos esetekben.

Ebben a dolgozatban középpontjában a használata a Newton-Leibniz képletet a pontos értékét a határozott integrál, bemutatunk egy részletes megoldást konkrét példákat. Szintén a példákban foglalkozunk a változás változó egy határozott integrál, és megállapította, az értéke a határozott integrál integrálásával részekkel.

Oldalnavigáció.

Newton-Leibniz formula.

Legyen a függvény y = f (x) folytonos intervallumon [a; b] és F (x) - a függvénye a primitívek ezen intervallumon, akkor a következő képlet érvényes alaptételének. .

Formula nevezett Alaptétele általános képletű integrálszámítás.

Annak bizonyítására, hogy a Newton-Leibniz formula van szükség a koncepció az integrált változó felső határa.

Ha a függvény az y = f (x) folytonos intervallumon [a; b]. akkor az érv típus a beépített függvény a felső határ. Jelöljük ezt a funkciót, és ez a függvény folytonos, és az egyenlőséget.

Sőt, mi írjuk a növekmény tartozó funkció a növekmény az érvelés, és használja az ötödik jellemzője a határozott integrál és az eredmény a tíz tulajdonságok:

hol.

Átírjuk az egyenletben formájában. Ha felidézzük a meghatározása származékot egy funkciót, és megy a határ, kapunk. Azaz, - az egyik primitívek függvény az y = f (x), az [a; b]. Így több primitívek F (x) felírható ahol S - egy tetszőleges konstans.

Compute F (a). az első tulajdonság a határozott integrál: így. Használjuk ezt az eredményt a számítás F (b). Ie. Ez az egyenlet adja a kívánt képletű Newton-Leibniz.

Lépésköz funkció lehet kijelölni egy. Ezzel a jelöléssel, Newton-Leibniz formula válik.

Alkalmazni alaptételének képletű elegendő tudni egyik primitívek y = f (x) integrandust függvény az y = f (x), az [a; b] és kiszámítja a növekmény e primitív ezen intervallumban. A cikkben módszerek integrációját a fő módszerek megtalálásának primitív. Adunk néhány példát kiszámítására határozott integrálok képlet Alaptételének tisztázására.

A értékét a határozott integrál a Formula Alaptételének.

A kezdet kezdetén, az integrandus függvény folytonos intervallumon [1; 3]. ezért integrálható. (Be integrálható függvények beszéltünk abban a részében, a funkciókat, amelyeknek van egy határozott integrál).

Mivel a határozatlan integrálok táblázat azt mutatja, hogy a beállított funkció primitívek minden érvényes értékei az érv (és így, hogy) van írva, mint. Tekintsünk egy primitív, ha c = 0 ..

Most, hogy kihasználják a Newton-Leibniz formula kiszámítására határozott integrál :.

A folytonos szegmensre integrandust ezért integrálható.

Megtaláljuk a készlet primitívek funkciókat.

Vegyünk egy primitív és a Newton-Leibniz számítania kívánt határozott integrál:

Mi jár a második határozott integrál.

A intervallum [-1; 1] integrandust nem korlátozódik, mivel nem szükséges feltétele integrálhatóságát a szegmens. Sőt, van egy primitív függvény intervallumon [-1; 1]. mivel a 0 pontban tartozó szegmens, ez nem szerepel a funkció tartomány. Következésképpen, nincs határozott Riemann-integrál és Alaptételének funkciót intervallumon [-1; 1].

Tehát, mielőtt a Newton-Leibniz formula feltétlenül kell, hogy győződjön meg arról, hogy ez a határozott integrál létezik.

Cseréje egy változó a határozott integrál.

Legyen a függvény az y = f (x) van definiálva, és a folyamatos intervallumon [a; b]. A szett [a; b] az értéktartomány a funkció x = g (z). amely úgy definiálható intervallumon, és van egy folyamatos származék, és ahol, majd.

Ez a formula használata kényelmes, ha azt akarjuk számítani a szerves és határozatlan integrál, mi lenne keresi a helyettesítési módszer.

Nézzük egy példát az érthetőség kedvéért.