Lineáris egyenletek, példák, oldatok

Miután megtudtuk, hogy egy ilyen egyenletet. és képesek vagyunk megoldani a legegyszerűbb őket, ahol van egy ismeretlen kifejezés, csökkenti a szorzó, stb logikus, hogy megismerjék az egyenletek és más fajok. A következő lineáris egyenletek a sorban. fókuszált tanulmány kezdődik algebra órák a 7. osztályban.

Egyértelmű, hogy először is meg kell magyarázni, mi lineáris egyenlet meghatározása lineáris egyenlet együtthatóit, hogy megmutassa általános megjelenését. Akkor értem, hogyan, hogy egy lineáris egyenlet, attól függően, hogy az együtthatók és a gyökerek találhatók. Ez lehetővé teszi, hogy menjen a megoldására a példákat, és ezáltal megszilárdítja a tanulmány az elmélet. Ebben a cikkben fogjuk csinálni: részletesen laknak az összes elméleti és gyakorlati kérdéseket a lineáris egyenletek és megoldásuk.

Csak azt mondják, hogy itt fogunk csak úgy a lineáris egyenlet egy változó, és már egy külön cikkben fogjuk tanulni elveit a megoldás lineáris egyenletek két változó között.

Oldalnavigáció.

Mi egy lineáris egyenlet?

Meghatározása lineáris egyenletek adják utalva a rekordot. És a különböző könyvek a matematika és algebra szövege meghatározások lineáris egyenletek van némi különbség nem befolyásolja a lényege annak a kérdésnek.

Például, egy lineáris egyenlet által meghatározott tankönyv algebra 7. évfolyam Yu és munkatársai Makaricheva következőképpen .:

Az egyenlet a nyomtatvány egy · x = b. ahol x - változó, a és b - számok, ez az úgynevezett lineáris egyenlet egy változót.

Adunk néhány példát a lineáris egyenletek megfelelő zöngés meghatározása. Például egy 5 · x = 10 - lineáris egyenlet egy x változó. Itt egy tényező 5. A szám és b értéke 10. Egy másik példa: -2,3 · y = 0 - ez is egy lineáris egyenlet, de y változó. ahol a = -2,3, és b = 0. Egy lineáris egyenletrendszer x = -2 és -x = 3,33 numerikus együtthatók nincsenek jelen az explicit formában, és 1 és -1, illetve, ahol az első egyenlet b = -2. és a második - b = 3,33.

Egy évvel korábban, a matematika tankönyv Vilenkina N. Ya. Lineáris egyenletek egy ismeretlen hozzáadásával egyenletek a · x = b nemez és egyenletek vezethet ebben a formában átutalással szempontjából az egyik a másik oldala az egyenletnek az ellenkező előjelű, és redukcióval hasonló kifejezések. E meghatározás szerint, egyenletek formájában 5 · x = 2 · x + 6. stb túl lineáris.

Másfelől, a tankönyv algebra 7 osztály AG Mordkovich adja ezt a meghatározást:

A lineáris egyenlet egy x változó - van egy egyenlet formájában a · x + b = 0. ahol a és b - számok, az úgynevezett együttható a lineáris egyenlet.

Például, lineáris egyenletek az ilyen típusú 2 · X-12 = 0. egy együttható egyenlő 2, és b - egyenlő -12. és 0,2 · y + 4,6 = 0 együtthatójú a = 0,2, és b = 4,6. De ugyanakkor vannak példák lineáris egyenletek a forma nem a · x + b = 0. és a · x = b. így például, 3 · x = 12.

Nézzük, hogy a jövőben nem volt félreérthető, lineáris egyenlet egy x változó és a és b együtthatók azt jelenti egyenlet formájában a · x + b = 0. Ez a fajta lineáris egyenlet a leginkább indokolt, hiszen a lineáris egyenlet - az algebrai egyenlet az első fokú. Az összes többi fenti egyenletek és az egyenletek egyenértékűek transzformáció útján formájában egy · x + b = 0. Nevezzük egyenletek redukálható a lineáris egyenletek. Ezzel a megközelítéssel, az egyenlet 2 · x + 6 = 0 - lineáris egyenlet, egy 2 · X = -6. 4 + 25 · y = 6 + 24 · y. 4 · (X + 5) = 12, stb - ez az egyenlet csökkent lineáris.

Hogyan lehet megoldani lineáris egyenletek?

Most itt az ideje, hogy megtudja, hogyan lehet megoldani a lineáris egyenlet a · x + b = 0. Más szóval, itt az ideje, hogy megtudja, ha a gyökerei egy lineáris egyenlet, és ha igen, mennyi és hogyan lehet őket.

A rendelkezésre álló lineáris egyenlet gyökér értékeitől függ a és b együtthatók. Ebben az esetben a lineáris egyenlet a · x + b = 0

• Egyetlen gyökér, amikor a ≠ 0.
• Ez nincs gyökerei egy = 0 és b ≠ 0.
• végtelen sok gyökerek ha a = 0 és b = 0. Ebben az esetben, tetszőleges számú gyöke lineáris egyenlet.

Nézzük hogyan ezeket az eredményeket kaptuk.

Tudjuk, hogy az egyenletek megoldására tudja mozgatni a forrástól az egyenlet ekvivalens az egyenletet. azaz, hogy egyenletek azonos gyökerek, vagy valamint az eredeti, nem gyökereit. Ebből a célból, a következő ekvivalensek átalakítás is lehet használni:

• át tartó egyik része az egyenletnek a másik az ellenkező előjelű,
• és megszorozzuk vagy elosztjuk mindkét oldalán ugyanaz a nulla számot.

Tehát, egy lineáris egyenlet egy változó típusát a · x + b = 0, akkor elhalasztják a kifejezés b a bal oldalról a jobb oldalra ellentétes előjelű. Ebben az egyenletben formáját ölti a · x = -b.

És akkor felmerül a részlege mindkét oldalán az egyenlet száma egy. De van egy dolog: a szám lehet nulla, ebben az esetben a szétválás lehetetlen. Ahhoz, hogy megbirkózzon ezzel a problémával, először azt feltételezzük, hogy számos nem nulla, és egy esetben nulla, úgy külön később.

Tehát, ha nem nulla, akkor mi mind részei az egyenletnek a · x = -b osztva. majd átalakul az x = (- b) # 58; a. ez az eredmény lehet írni egy perjel hasonlók.

Ily módon, amikor a ≠ 0 lineáris egyenlet a · x + b = 0 egyenértékű az egyenlet. ahol láthatjuk a gyökér.

Könnyen azt mutatják, hogy ez a gyökér egyedülálló, azaz a lineáris egyenletnek nincs más gyökereit. Ez lehetővé teszi, hogy az a módszer, ellentmondás.

Jelöljük a gyökere mindkét x1. Tegyük fel, hogy van egy gyökere egy lineáris egyenlet, amely jelöli x2. ahol X2 ≠ x1. amelyek a meghatározás szerint egyenlő számban egyenértékű a feltételeket a különbség x1 -X 2 ≠ 0. Mivel x1 és x2 gyökerek lineáris egyenlet a · x + b = 0. akkor megvan a numerikus egyenlet egy · x1 + b = 0, és egy · x2 + b = 0. Mi lehet végrehajtani, kivonva a vonatkozó részeit ezen egyenletek, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy a tulajdonságai numerikus egyenletek. Van egy · x1 + b- (a · x2 + b) = 0-0. ahol a · (x1 -X 2) + (b-b) = 0, majd a · (x1 -X 2) = 0. De ez az egyenlőség lehetetlen, mert mind a ≠ 0 és x1 X2 ≠ 0. Tehát van egy ellentmondás, ami azt bizonyítja egyediségét a gyökere a lineáris egyenlet a · x + b = 0 ≠ 0.

Ezért úgy döntöttünk, hogy a lineáris egyenlet a · x + b = 0 ≠ 0. Az első eredmény megadott e pont elején ez indokolt. Van még két, amelyek megfelelnek a feltételnek a = 0.

Amikor a = 0 lineáris egyenlet a · x + b = 0 lesz 0 · x + b = 0. Ebből az egyenletből és tulajdonságait a szorzás a számok nullával, ebből az következik, hogy bármilyen számot nem vennénk ha x. ha szubsztituált egyenletbe 0 · x + b = 0 lesz numerikus egyenlőség b = 0. Ez az egyenlet érvényes, amikor b = 0. más esetekben, amikor b ≠ 0 hamis egyenlőséget.

Következésképpen, ha a = 0 és b = 0 tetszőleges számú gyökere lineáris egyenlet a · x + b = 0. mivel ilyen körülmények között a helyettesítési bármilyen számú x ad pontos számszerű egyenlőség 0 = 0. És ha a = 0 és b ≠ 0 lineáris egyenletet a · x + b = 0 nincsenek gyökerei, mivel ilyen körülmények között a helyettesítési x tetszőleges számú vezet hamis numerikus egyenlőség b = 0.

Ezek a vizsgálatok lehetővé teszik, hogy létrehoz a műveletsornak, amely lehetővé teszi, hogy megoldja bármely lineáris egyenlet. Így egy olyan algoritmust megoldására lineáris egyenlet a következő:

• Első felvétel lineáris egyenlet megtalálják az értékeket a és b együtthatók.
• Ha a = 0 és b = 0. akkor ennek az egyenletnek végtelen sok gyökér, azaz akárhány gyöke lineáris egyenlet.
• Ha a = 0 és b ≠ 0. Az eredeti egyenletnek nincs gyökere.
• Ha nem nulla, akkor
  • együttható b át a jobb oldalon az ellenkező megjelölés, ahol a lineáris egyenlet átalakul egy · x = -B.
  • amely után mind részei az egyenletnek elosztjuk egy nulla a szám. amelyek eredményeképpen a kívánt gyökér forrása a lineáris egyenlet.

Algoritmus rögzített kimerítő választ arra a kérdésre, hogy hogyan lehet megoldani lineáris egyenletek.

A rész lezárásához azt jelenti, hogy egy hasonló algoritmust használnak az egyenletek megoldására a forma a · x = b. A különbség abban rejlik, hogy ha a ≠ 0 végrehajtása azonnal ossza mindkét oldalán az egyenlet ezt a számot, ahol b már a jobb oldalon az egyenlet, és nem szükséges elvégezni annak átadása.

Oldatok esetében egyenletek formájában a · x = b vonatkozik ez az algoritmus:

• Ha a = 0 és b = 0. akkor az egyenletnek végtelen sok gyökér, amelyek bármilyen számban.
• Ha a = 0 és b ≠ 0. Az eredeti egyenletnek nincs gyökere.
• Ha nem nulla, akkor mindkét oldalán az egyenlet elosztjuk egy nulla a szám. ahol csak egy gyökere az egyenlet egyenlő b / a.

Ilyen megoldásokat lineáris egyenletek

Azt viszont gyakorolni. Nézzük, használt algoritmust megoldására lineáris egyenletek. Itt tipikus példái az oldatok megfelelő különböző az együtthatók lineáris egyenletek.