Sorozat, a koncepció a numerikus tartomány tulajdonságait konvergens sorozat

Az első ismeretség a numerikus sor olvasónk vette a középiskolában a tanulmány a számtani sorozat és mértani. Ezekből tanulságait, hogy határozza meg ezeket a szekvenciákat kell határozni a törvény helyét minden tagja a sorozat, ez általában írva, mint a képlet.

Ha - végtelen számsor azt hivatalosan rögzített véleménynyilvánítás

úgynevezett végtelen sorozata (vagy a közelben). Dots végén (néha megmosolyogták, hogy néhány, és a lényege a sorozat) azt mutatja, hogy (1) nem rendelkezik az utolsó ciklus, mindig érdemes következőket minden távon. Így a szám „végtelen” összeget.

Röviden sorozat (1) felírható,

ahol az indexek alatti és feletti összeget szimbólum azt jelzi, hogy meg kell venni a számok összege, ha n értéke 1-től ∞.

Számok nevezzük tagjai a sorozat tagjaként számos állt a n-edik pozícióban elejétől - a általános kifejezés.

Példák a sorozatban:

Tegye fel sorban - ez azt jelenti, hogy egy szabályt, az oktatási törvény tagjai, amelyen megtalálható bármely tagját (újra emlékezni iskolai órák számtani és mértani sorozat). Számos általános kifejezés a következő képlet adja. Például, ha az így határozzuk meg a következő sorrendben:

Ha megkapjuk a számot

Ha a jövőben azt fogja mondani, hogy adott egy számot, akkor érthető, hogy mivel az általános kifejezés.

1. példa: Írjuk be az első öt szempontból a sorozat, ha a képlet a teljes tagok:

Határozat. Behelyettesítve a képlet helyett n egymás után 1, 2, 3, 4, 5. kapjuk:

2. példa: rögzíti az összes tagok száma a képlet, ha az adott első öt tagja:

Határozat. Keresünk egy mintát az oktatás tagjai a sorozat. Könnyen belátható, hogy a nevező száma 3, bizonyos mértékig. Az első kifejezés a sorozat nulla fokos, azaz 1 - 1, a második kifejezés egyenlő 1 fok, azaz 2 - 1 az ötödik - 4, azaz 5 - 1. Következésképpen, a mértéke három egyenlő n - 1. Az viszont mind a számlálóban a szám mindig 2-vel kevesebb, mint 3n. Következésképpen, az összes tagok száma képletű:

Ha hozzá egy véges számú tagra mindig egy bizonyos számszerű eredmény kiszámításához az összeg végtelen számú kifejezések sem ember, sem kompyuter, hiszen a folyamat, amely során a tagok száma (definíció szerint) soha nem ér véget.

Így az (1) kifejezés egy formális, mert ez az összeg végtelen számú kifejezések meghatározását. Mindazonáltal, ez a kifejezés, hogy hozza az összegzés jele, és azt jelentette, hogy a feltételek a sorozat valahogy összeadódnak. Az összeg bármelyikének véges számú kifejezéseket fogjuk találni, ha hajtogatják őket egymás után egy. Ez ahhoz vezet, hogy a gondolat megfeleltetik több szám, és hívja meg az összeg a sorozat. Erre a célra, bevezette a részösszegek a sorozat.

A hozzávetőleges mennyisége (1)

Úgy hívják részleges összegeket.

Azaz, az összege az első n a sorozat nevezzük az n-edik részleges összege:

Részleges összegek véges számú kifejezést, hanem „rendes” összeget, akkor megtalálja, számítanak. Számos megkapjuk végtelen sorozata részleges összegeket.

Ha az értékek a részleges összegek alatt korlátlanul szaporodnak n. vagyis ha keres valamilyen számot S. azaz van egy határ

akkor a sorozatot nevezzük konvergens.

Ez a szám az úgynevezett összege S sorozat. Ebben az értelemben ezt írhatjuk egyenlőség:

Egy példa a konvergens sorozat:

Nem bármilyen számú szekvenciájának részleges összegek általában egy bizonyos határig. Például, számos

részösszegek felváltva értéke 1 és 0:

Ha a határ szekvenciájának részösszegek a sorozat nem létezik, akkor a sorozatot nevezzük eltérő. Eltérő sorozat nincs összeget.

3. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia a sorozat (2).

Határozat. Formában a részösszegek a sorozat:

Bemutatjuk azokat formájában

Könnyen látható szabályosságát kialakulását részleges összegek; mindegyik jelentése a különbség egy és egy töredéke, amelynek számlálója 1 és a nevező n-edik részösszegként egyenlő n + 1, azaz a

Keressük a határ sorozatából részösszegek:

Következésképpen, a szám (2) van konvergens, a szekvencia 1.

Vizsgáljuk meg a konvergencia a sorozat (3):

úgynevezett geometriai, mivel a tag az egy mértani, az első kifejezés egyenlő egy. és a nevező q.

Tekintsük a részösszegként ez a sorozat:

Ez összegével egyenlő egy mértani, ha