A sorozat, a matematika

1. Meghatározások. Számos olyan elemek sorozatát rajzolt néhány törvényt. Ha kap egy számot, ez azt jelenti, hogy a törvény, amely segítségével tetszőleges számú elem egy sor tulajdonság elemek különböztetik számsorozat, számos funkciót és bizonyos funkciók. Íme néhány példa.

Számos természetes számok;

- Számos exponenciális függvények vagy teljesítmény sorozat

Itt a száma, a 0. a1. a2. egy. írt néhány törvény, például.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3). x n /(1.2. N).

0, x, x 2/2, x 3/3, x 4/4. (-1) n-1 X n / n.

Kiszámításához a számérték egy kifejezés van szükség, hogy végre számos intézkedést. Pl.

√ [(35-3) / 2] = √ [32/2] = √16 = 4.

Segítségével számos intézkedést kért a legnagyobb közös osztó két adott számmal.

említett. végtelen ha miután minden elemnek van egy elem UK UK + 1; különben említett szám. végén. Pl.

van egy véges számú, mert nincs bizonyíték után 10 elem.

2. A számos meghatározott következő.

Különösen fontosak a végtelen sorozata formájában

ahol a1, a2, a3,. és n. pozitív egészek, A0 tetszőlegesen nagy; az összes többi szám a1, a2, a3,. kisebb, mint 10. Ez a szám hívható számot, hiszen lehet összehasonlítani ezt a számot a racionális számok (cm.), akkor lehet megállapítani az egyenlőség fogalma, összege, a termék, a különbség, és az ilyen saját számokat.

A sorozat (1) jelöli a rövidség odnoyu írni egy.

Azt mondják, hogy abolshe racionális szám p / q. ha n elég nagy, az egyenlőtlenség

Ha legalább n

de elég nagy n

ahol r / s önkényesen kiválasztott szám kisebb, mint a p / q. úgy vélik, hogy az egyenlő p / q.

Ennek alapján ez a szám

9/10 9/10 9/10 2 3.

egység. Ez az egyenlőség jelöli 0, 999 = 1.

Ha nem egyenlő 9, és minden ezt követő számok

Előfordulhat, hogy minden eleme (1) kiindulva ak + 1 nullával egyenlő. Ebben az esetben a kifejezett meghatározása szerint a

Ez a fajta hívott számot. Endpoint tizedes.

Mivel aritmetikai Ismeretes, hogy kezelésére közös frakció decimális frakcióval kapott véges vagy végtelen periodikus. Minden periodikus tizedes törtet lehet alakítani egy közönséges frakciót. Ebből következik, hogy egy végtelen, nem periodikus tizedes nem lehet racionális szám, ezért számát jelenti egy speciális fajtája az úgynevezett irracionális (lásd.).

3. Konvergencia és divergencia sorozat. egy számsorozat

hívott. konvergens, ha létezik olyan (racionális vagy irracionális), hogy egyre nagyobb az számértéke az n

Ez lesz, és továbbra is önkényesen kicsi. Egy ilyen számot hívják. összege több Ebben az esetben a levelet

és ez az egyenlőség nevezik. bomlási végtelen számú, ha ez a szám nem létezik, és a szám (2) nevezzük. divergens.

A legfontosabb példa a konvergens sorozat mértani (cm.).

nevező q egy számérték kisebb, mint egy. Ebben az esetben már a bomlás

Számos eltérő például szolgálhatnak

Ezt a számot hívják. harmonikus, mint minden egymást követő három a tag alkot harmonikus arányban (vannak harmonikus kapcsolatban; cm.). kifejezés

Ennek nincs értelme.

Ha a tagok száma a Harmonikus hogy felváltva a jelek + és -, akkor egy konvergens sorozat kifejezést

egyenlő a logaritmusát 2, vett bázis e (cm.).

Nem tudja kifejteni részletesen a jelek konvergencia, akkor vegye figyelembe, csak a következő tétel.

Ez a szám - konvergens, ha a modulok száma (cm.) Egyesített tagjai.

ahol a szám v0, v1. v2, v3. pozitív, konvergens, ha N növelésével

Számos pozitív értelemben

ez a sorozat divergens, ha

Ha ez a szám pozitív értelemben

ahol r jelentése független n. # 945;> 1, és # 952; (N) egy numerikus értéke mindig kisebb, mint egy pozitív szám, akkor a sorozatot konvergál r> 1, és széttartóan ha r = 1 vagy annál kisebb (cserzés, „Bevezetés à la Theorie des fonctions d'une változó”, 84. o.).

konvergens, de a tagjainak száma modulok elágazik, azt mondjuk, hogy a sorozat (4) konvergál feltételesen. Pl.

A hívott szám. abszolút konvergens, ha a tagjainak száma konvergens modulokat.

Összeg feltételesen konvergens sorozat változik az, hogy a tagok. Pl.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +. = Log2,

de 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +.

= 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +. 2 = 1/2 log.

A összege abszolút konvergens sor nem függ a megrendelés tagjai.

Ha a és b számok bővíthető egy abszolút konvergens sor

abszolút konvergens, és ezen túlmenően,

5. Egységes konvergencia. Tegyük fel, hogy az adott szám

a tagjai, amelyek függvények egy x változó. amely képes fogadni a valós és képzetes (cm.) értékeket. A beállított értékek az x, amelynél a sorozat konvergál, amely egy úgynevezett konvergencia régióban.

konvergál csak az x = 0.

széttartó minden x.

gyűjtése. minden x értékét. Ha hatványsorba # 945; 0. # 945; 1x, # 945; 2x 2.

gyűjtése. néhány x értéke nem egyenlő nullával, akkor a sorozatot konvergál. és legalább x. modulusa kisebb, mint bizonyos számú R. Ha használjuk a geometriai ábrázolása képzeletbeli m értékek (lásd.), azt mondhatjuk, hogy a domain a konvergencia ez a sorozat a tartományban a R sugár.

Ennek egyik példája a mértani

1, x. x x 2. 3. kör, amelynek sugara a konvergencia egyenlő egységét.

Ha x területéhez tartozik az összejövetelen. Számos (5), majd minden n. nagyobb, mint bizonyos számú t

Általában t függ az x és # 949;, de különleges esetekben, úgy, hogy csak attól függ, hogy # 949;, amikor x értékei tartozó egy bizonyos régió (S). Ebben az esetben a sorozat (5) nevezzük. egyenletesen konvergens a területen (S).

Vegyük például száma

korlátozott valós és pozitív értékeit x.

Ez a sorozat konvergál. míg ha X jelentése kisebb vagy = 1

Ahhoz, hogy az egyenlőtlenséget

kell vennünk n> Napló # 949; / logx

Következő. ebben az esetben

Mint látható, hogy a független x. Nem számít, mennyire jó volt m. léteznek x értékei a (0, 1) úgy, hogy a következő egyenlőtlenség (7) nem teljesül minden n, nagyobb, mint m. Ha X = 1, akkor (7) akkor teljesül, ha n értéke nagyobb, mint, vagy = 1

Ez azt bizonyítja, hogy a figyelembe vett számú egybehangzó egyenetlenül. 0 és 1 közötti.

0

t = Log # 949; / Log (1 - # 945;), és n = m vagy nagyobb

Következő. Sorozat (6) konvergáló egyenletesen. intervallumban (0, 1 - # 945;).

Ha az egyenletes konvergenciája a tagok száma

folytonos függvények az x. akkor az összeg a számát - folytonos függvény (lásd abbahagyni.).

Egyenletesen konvergálnak. Számos lehetséges termwise integrálni vagy különbséget.

A kérdés az integráció számos mutatjuk be minden természetesen a integrálszámítás. Ami a szám a differenciálás, valamit erről lásd a munkálatok a Weierstrass mint :. "Mathematische Werke", 2. kötet ( "Abhandlungen", II, pp 205-208.).

van egyenletes konvergenciája konvergencia a körön belül.

6. A bővítés a funkciók sorozatban. A következőkben azt feltételezzük, hogy a független változó az igazi. Útján Maclaurin képletű (. Cm) kapjuk a következő bomlás:

(Ezek a képletek érvényesek minden x).

Annak érdekében, hogy használja a (9) képletű kiszámításához, például. cos 2 °, meg kell helyettesíteni helyett NOx arány a sugara az ív hossza, amely 2 fok.

A formákat. (11) a logaritmus venni e alapú. Ez a formák. kényelmetlen logaritmusok, mivel szükség van arra, hogy egy csomó tagok száma még kisebb pontossággal. Egy sokkal kényelmesebb a számítási képlet 13., amely származik (11) képletű feltételezve

A kiterjesztés funkció log (1 + x) - log (l - x).

Feltételezve, hogy a = 1, z = 1, akkor log2;

"A = 1, z = 1," log5;

a + z = 3, a = 4-80, „log3;

Megszorozzuk a természetes logaritmusa eredményeit a számok

M = 1 / log10 = 0,43429 44.819 03251 82.765.

kapjunk közös logaritmus (a bázis 10) az azonos számok (cm.).

Formákat. (12) tart, amikor X = 1, ha m> -1, és az x = -1, ha m> 0 (Abel, „Oeuvres complètes”, 1881, 245. o.).

Közvetlen hasadási bővült hatványsorba racionális függvények. Lehetőség van használni erre a célra, és az eljárás a meghatározatlan együtthatója. Feltételezve, például.

Ez a fajta hívott számot. visszaváltható. A fenti egyenletek egymás határoztuk y 0. y1. y2.

Bomlási Ennek a funkciónak van egy számot integrálszámítás, ha ismert bomlási a származékot sorozatban. Ily módon megkapjuk expanziós

érvényes értékei x kielégíti

Van íves tg íves sinx x és olyan számok között fekszenek -π / 2 és π / 2 és tg egyenlő vagy sin x.

Számos (14) a következő képlet segítségével Mechena (Machin)

π / 4 = 4arc tg (1/5) - arc tg (1/239)

Ez lehetővé teszi, hogy gyorsan kiszámítja π nagy számú tizedesjegy. Így Shanks (Shanks) számított π 707 tizedes karaktereket. Bővítése funkciók trigonometrikus sor és bővítése elliptikus függvények később ismertetjük.