Egy lineáris egyenletrendszer

Rendszer m lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel nevezzük rendszer formájában

ahol aij és bi (i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) - néhány ismert számok, és x1, ..., xn - ismeretlen. Az elnevezés az együtthatók aij első index számát jelöli az egyenlet, és a második j - egy ismeretlen számot, ahol van ez a tényező.

Együtthatók az ismeretlenek lesznek írva a mátrix formájában, ahogy mi hívjuk a rendszer mátrix.

A számok a jobb oldalon az egyenletek, b1, ..., bm nevezzük ingyenes tagok.

Egy sor N számok c1, ..., cn nevezzük oldatot a rendszer, ha minden egyes egyenletet a rendszer válik egyenlőség után helyettesítése számok c1, ..., cn helyett a megfelelő ismeretlenek x1, ..., xn.

A mi feladatunk lesz, hogy megoldást találjanak a rendszer. Ebben az esetben a három helyzetek adódhatnak:

1. A rendszer egy egyedi megoldás.
2. A rendszer lehet egy végtelen számú megoldást. Pl. A megoldás, hogy ez a rendszer minden számpár, eltérő a jel.
3. És a harmadik eset, amikor a rendszer nem megoldás. Például, ha egy oldat létezett, X1 + X2 egyenlő nullával, és egy időben.

A lineáris egyenletrendszer legalább egy megoldást, az úgynevezett közös. Ellenkező esetben, vagyis a ha a rendszer nincs megoldás, akkor az úgynevezett ellentmondásos.

Gondold át, hogyan találjanak megoldást a rendszer.

Algoritmusa Lineáris egyenletrendszerek

Mátrixok lehetőséget biztosítanak lejegyez egy lineáris egyenletek. Adott egy rendszer 3 egyenletek három ismeretlenes

Tekintsük a mátrix rendszer mátrix oszlopai az ismeretlen és a szabad feltételek

azaz ennek eredményeként a termék megkapjuk a bal oldalán a rendszer. Ezután a meghatározása az egyenlő a rendszer mátrixok felírható

Itt mátrix és B ismertek, és a mátrix X ismeretlen. Meg kell találni, és mivel elemei a megoldás ennek a rendszernek. Ez az egyenlet az úgynevezett mátrix-egyenlettel.

Hagyja, hogy a determináns nulla | A | ≠ 0. Tehát, a mátrix egyenlet megoldható a következőképpen. Szorzása egyenlet mindkét oldalát balról a mátrix -1. A. A fordított mátrixba. Mivel A -1 = E és E # 8729; X = X A megoldáshoz az alábbi mátrix-egyenlettel X = A-1 B.

Megjegyezzük, hogy mivel a fordított mátrix lehet találni a tér mátrixok csak, akkor a mátrix módszer lehet megoldani csak azokat a rendszereket, amelyekben a számot egybeesik az ismeretlenek száma egyenletek. Azonban a rendszer mátrix rögzítés lehetséges abban az esetben, ahol a számos egyenletek egyenlő az ismeretlenek száma, akkor a mátrix nem négyzet, és ezért lehetetlen megoldást találni, hogy a rendszer formájában X = A-1 B.

Példák. Problémák a egyenletrendszert.

Találunk egy inverz mátrixot mátrix

Így, X = 3, y = - 1.