Lineáris egyenletrendszerek alapfogalmak

A lineáris egyenletrendszer - társulás n lineáris egyenletek, amelyek mindegyike tartalmaz k változó. Meg van írva, mint ez:

Sokan először szembesül a magasabb algebra, tévesen úgy vélik, hogy a számos egyenletek kell egyeznie a változók száma. Az iskola algebra, mint az lenni szokott, de ez általában nem igaz a nagyobb algebra.

Megoldás a rendszer - ez egy számsor (k 1. k 2. kn), amely a megoldás minden egyes egyenlet a rendszer, azaz a behelyettesítve az egyenlet az x 1 x 2 x n ad valós numerikus egyenlőséget.

Ennek megfelelően megoldani egy egyenletrendszer - azt jelenti, hogy megtalálják a sor valamennyi határozatát, vagy bizonyítani, hogy ez üres. Mivel a több egyenletek és az ismeretlenek száma különböző lehet, három lehetőség van:

1. A rendszer nem felel meg, azaz a A készlet minden megoldás üres. Egy ritka eset, hogy könnyen kimutatható, függetlenül a módszer, hogy megoldja a rendszer.
2. A rendszer következetes és meghatározott, azaz a Ez pontosan egy megoldás. A klasszikus változat jól ismert, még az iskolából.
3. A rendszer kompatibilis, és nem definiált, azaz Ez végtelen sok megoldás. Ez a kemény változat. Nem elég, hogy megállapítják, hogy „a rendszer végtelen sok megoldást” - meg kell leírni a szerkezetét ez a készlet.

Változó xi hívják megengedett. ha csak egyetlen egyenlet rendszerrel és az együttható 1. Más szóval, a fennmaradó egyenletek együttható változó xi nullának kell lennie.

Ha minden egyenletben válasszon egy engedélyezett változó, megkapjuk a változókat lehetővé tette a teljes egyenletrendszert. Maga a rendszer van írva ebben a formában, akkor is kell tenni, hogy az úgynevezett. Általánosságban elmondható, hogy ugyanabból a forrásból rendszer lehet csökkenteni a különböző felbontású, de most nem érdekel. Íme néhány példa a lehetséges rendszerek:

Mindkét rendszer engedélyezett az x 1 x 3 x 4 Azonban ugyanazt az eredményt lehet azzal érvelni, hogy a második rendszer - megengedhető relatív 1. x x x 3 és 5 Elegendő, hogy átírja a legújabb egyenlet x 5 = x 4.

Most tekintsük az általánosabb esetben. Legyen minden van k változókat, amelyek r megengedett. Ezután két lehetőség van:

1. A megengedett számát változók r az összes változók száma k. r = k. Kapunk egy rendszert k egyenlet, ahol r = k megengedett változókat. Egy ilyen rendszer egy közös és egyedi, mint X = b 1. 1 x 2 = b 2 xk = bk;
2. A megengedett számát változók r kevesebb, mint az összes változó k. r

Így a fenti rendszerek változók X 2. X 5. x 6 (az első rendszer), és X 2. x 5 (a második) szabadon. Az esetben, ha vannak szabad változók, akkor jobb megfogalmazni, mint a tétel:

Kérjük, vegye figyelembe: ez egy nagyon fontos pont! Attól függően, hogy hogyan írsz a végleges rendszer, ugyanazon változó lehet legális és ingyenes. A legtöbb oktatók magasabb matematika ajánlott írni a változók lexikográfiai kell lennie, vagyis, emelkedő index. Azonban egyáltalán nem is kell, hogy kövesse ezt a tanácsot.

Tétel. Ha a rendszer n egyenletek a változók x 1. x 2. XR - megengedett, és X r + 1 x r + 2. x k - a rendelkezésre álló, akkor:

1. Ha beállított értékek a szabad változók (x r + 1 = T r + 1 x r + 2 = t r + 2 xk = tk), majd találni egy x értéket 1. x 2. XR. Kapunk az egyik megoldás.
2. Ha a két megoldás értékeinek szabad változók ugyanazok az értékek a megengedett változók egybe is, tehát oldatok egyenlő.

Mi az értelme ennek a tételnek? Ahhoz, hogy minden megoldás lehetővé tette az egyenletrendszert, kiosztani elég szabad változók. Ezután hozzárendelése egy szabad változó különböző értékeket, mi lesz kész megoldást. Ennyi - így kap az összes megoldást a rendszer. Más megoldás nem létezik.

Következtetés: Az állásfoglalás a egyenletrendszer mindig következetes. Ha ez a szám egyenletek a rendszer felbontása megegyezik a változók számát, a rendszer határozza meg, ha kevesebb - bizonytalan.

És minden jó, de felmerül a kérdés: hogyan az eredeti egyenletrendszert, hogy engedélyt kapjon? Erre a célra Gauss.

1. gauss
2. Munkavégzés képletek a probléma B12
3. Teszt a leckét, „összeadása és kivonása frakciók” (könnyű)
4. Kihívásainak B12: №448-455
5. Math tanár és segítséget externship
6. Feladat B5: az adatok nélkül cellaterület

• Ingyenes Felkészülés a vizsgára 7 egyszerű, de nagyon hasznos tanulságokat + házi feladat
•