számsor

1. Alapvető fogalmak

Hagyja, U1, U2. U3. ..., un. ...  végtelen számsorozat. kifejezés

nazyvaetsyabeskonechnym numerikus sorozat. szám U1, U2. U3. ..., un  a sorozat tagjainál; Ez az úgynevezett általános kifejezés a sorozat. Számos gyakran írt rövidített (hajtogatott) formában:

A összege az első n tagjai egy számsorozat jelöljük

és nazyvayutn th részösszegként a sorozat:

.

Sorozat nevezik konvergens. ha az n-edik részösszegként

unconfined vozrastaniin közeledik egy véges határérték, azaz a ha számnazyvayutsummoy sorozat.

Ha az n-edik részösszegként a sorozat

Ez nem hajlamosak véges határt, a számos nazyvayutraskhodyaschimsya.

1. példa Keresse meg az összeget a sorozat.

Határozat. van

. Mivel:

,

.

Azóta a sorozat konvergál és összege

.

2. A fő tételek a numerikus sorozat

Tétel 1. Ha a sorozat

A konvergencia a sorozateredő eldobása egy sor elsőtagjai (az utolsó hívott számot-m rész eredeti sorozat). Ezzel szemben, a konvergencia-th fennmaradó sorozat magában foglalja a konvergencia a sorozat.

2. tétel Ha a sorozat, és ez az összeg a számát

, majd konvergál ryadprichem összeg megegyezik az utolsó sor.

3. tétel Ha egyetért sorok rendre summyS és Q, a sorozat konvergál, és az összeg egyenlő az utolsó sor

.

Tétel 4 (a szükséges a konvergencia a sorozat). Ha a sorozat konvergál,

, azaz ahatára az összes konvergens tag nulla.

Következmény 1. Ha

, akkor a sorozat eltér.

2. Következmény Ha

, majd meghatározza a konvergencia vagy divergencia a sorozat segítségével a szükséges konvergencia kritériumot nem kell. Egy szám mind a konvergens és divergens.

2. példa Vizsgáljuk a konvergencia sorozat:

Határozat. Keresse az általános kifejezés a sorozat. Mivel:

,

azaz

, akkor a sorozatot elágazik (nem rendelkezik a szükséges feltétele konvergencia).

3. jelei konvergencia sorozat pozitív értelemben

3.1. közvetlen összehasonlító teszt

Közvetlen összehasonlító teszt összehasonlításán alapul egy előre meghatározott számú konvergencia számos divergenciája vagy konvergenciája amely ismert. Összehasonlításképpen, az itt felsorolt ​​sorozat.

sor

tagjaiból bármely csökkenő mértani sorozat konvergens és egy összeget

sor

tagokból exponenciálisan növekszik, ez eltérő.

sor

Ez eltérő.

Sorozat nevezzük Dirichlet sor. Pri> 1 Dirichlet sorozat konvergál <1- расходится.

Amikor  = 1 sorozat

Ez az úgynevezett harmonikus. A harmonikus sor divergens.

Tétel. Az első jele az összehasonlítás. két sorozat pozitív értelemben Tegyük fel, hogy:

ahol minden egyes tagja a sorozat (1) nem haladja meg a megfelelő tagok száma (2), azaz a

(N = 1, 2, 3, ...). Akkor, ha a sorozat (2), a konvergencia a sorozat (1); Ha az áramlási sebesség tartományban (1), a variancia és a sorozat (2).

Megjegyzés. Ez a funkció továbbra is érvényben ha neravenstvo

Ez végre nem minden, de csak kiindulva bizonyos számún = N. azaz minden nN.

3. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia

Határozat. A tagok a sorozat kisebb, mint a megfelelő feltételeket a sorozat

tagjaiból a végtelen mértani. Mivel ez a sorozat konvergens, akkor konvergál és kap egy számot.

Tétel. A második funkció összehasonlító (összehasonlító vizsgálat korlátozó formában). Ha van egy véges és nem nulla határérték

, Ezután mindkét sorozatéskonvergál, vagy eltérnek egyszerre.

4. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia

Határozat. Összehasonlítható a szám a harmonikus sor

Mi található a határ aránya általánosságban a sorozat:

Mivel a harmonikus sor divergens, akkor eltér, és kap egy számot.