Származéka, a bevezetése a meghatározás a 10. évfolyamon az algebra
Mit fogunk tanulni:
1. Bevezetés a koncepció a származék.
2. Egy kis történelem.
3. meghatározása származék.
4. A differenciálhányados a grafikonon. Geometriai értelmében a származék.
5. Az algoritmus megtalálásához differenciálhányados.
6. differenciálása funkciókat.
7. Példák.
Bevezetés a koncepció a származékos
Sok feladat nagyon különböző jelentésű, de vannak matematikai modellek, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy számolni céljainkat ugyanúgy. Például, ha figyelembe vesszük az ilyen feladatokat, mint:
a) Van egy bizonyos bankszámla, amely folyamatosan változik pár naponta, az összeg folyamatosan növekszik, arra van szükség, hogy megtalálják azt a sebességet, ami növeli a költségeket.
b) A növény cukorka, cukorka állandó termelés növekedése, hogy megtalálja, milyen gyorsan növekszik a növekedés csokoládét.
c) A jármű sebessége egy bizonyos idő t, ha ismeretes, a jármű helyzete, és mozog egy egyenes vonal.
d) Mi a menetrend adott funkció és egy pontot tartott érintőleges hozzá, szükség ahhoz, hogy a lejtőn érintőjének.
A készítményt a céljaink meglehetősen eltérő, és úgy tűnik, hogy azok teljesen megszűntek különböző módon, de a matek, hogy kitaláljuk, hogyan lehet megoldani ezeket a problémákat, pontosan ugyanúgy. A koncepció a származék került be.
Egy kis történelem
A kifejezés származékot be nagy matematikus - J. Lagrange, fordítást a magyar nyelv származik a francia szó derivee, ő is bevezette a modern jelöléssel a származékos termék, amelyet figyelembe kell venni később.
Tekinthető a koncepció származék a munkálatok Leibniz és Newton, a kifejezés használatát azok geometria és a mechanika, ill.
Egy kicsit később fogjuk megtudni, hogy mi a származékot határa határozza meg, de van egy enyhe paradoxon a matematika történetében. Matematikusok megtanulták számolni származék előtt bevezette a határt, és valóban megérteni, mi a származék.
meghatározása a származékos
Legyen a függvény az y = f (x) van meghatározva egy bizonyos időközönként, amely belsejében önmagában egy pont x0. Argumentum növekmény Ax - nem megy ki a kínálatból. Azt találjuk, növekmény Δy, és kialakuljon az arány Δy / Ax, ha a határ ez az arány, ha Ax nullához, a megadott határértéket az úgynevezett függvény deriváltját y = f (x) x0 és jelöljük f „(x0).
Próbáljuk elmagyarázni, mi a származékos nem matematikai értelemben:
A matematikai nyelv: származékot - határa az arány a növekmény funkció a növekmény argumentuma nullához növekmény az érvelés.
A hétköznapi nyelv: származékot - működnek a változás mértéke a lényeg x0.
Nézzük meg a grafikonokat a három funkciót:
Srácok, mit gondol, ami a görbe gyorsabban növekszik?
A válasz úgy tűnik, hogy nyilvánvaló, hogy minden 1, a görbe gyorsabban növekszik, mint a többiek. Keresünk, hogy hűvös megy fel függvény grafikonját. Más szavakkal -, hogy milyen gyorsan változik, ha megváltoztatja a koordináta x. Egy és ugyanaz a funkciója különböző helyeken eltérő lehet értéke a származtatott - azaz megváltoztathatja gyorsabban vagy lassabban.
A differenciálhányados a grafikonon. Geometriai értelmében a származék
Most lássuk, hogyan kell megtalálni a származékos a grafikonok:
Nézzük meg a menetrend funkciók: Döntetlen a c abszcissza x0 érintő a függvény grafikonját. Érintő és ütemezése a funkció érintkező ponton A. Meg kell állapítani, mennyire meredeken megy függvény grafikonját. Egy kényelmes érték ehhez - a lejtőn az érintő.
Definíció. A függvény deriváltját ponton x0 egyenlő a lejtőn a érintő a függvény grafikonját ezen a ponton.
A dőlésszög a tangens választjuk közötti szög az érintő és a pozitív irányát az x-tengelyen.
Tehát a származéka a funkció egyenlő:
És így a származékos x0 a lejtőn a tangense geometriai jelentését származék.
Az algoritmus megtalálása differenciálhányados
Az algoritmus megtalálásához differenciálhányados y = f (x).
a) A fix x értékét, hogy megtalálja az f (x).
b) Find a növekmény az érvelés x + Ax, és a funkciója a növekmény értéke az f (x + Ax).
c) Find a növekmény Δy = f (x + Ax) -f (x) függvény.
d) Készítsen kapcsolatban: Δy / Ax
d) Számítsuk
- ez a származék funkciót.
differenciálás a feladatok
Ha a függvény az y = f (x) a származék x pontban, akkor az úgynevezett differenciálható ponton x. A differenciálódási folyamat úgynevezett differenciálhányados y = f (x).
Térjünk vissza a kérdésre, hogy a folytonosság a funkciót. Ha a függvény differenciálható egy bizonyos ponton, akkor a függvény grafikonját ezen a ponton, akkor felhívni a tangens függvény nem lehet egy kis szünetet, ezen a ponton, akkor egyszerűen nem tud rajzolni egy érintő.
És így tudjuk írni a fent említett, mint a meghatározása:
Definíció. Ha a függvény differenciálható egy pontban x, akkor folyamatos ezen a ponton.
Azonban, ha a függvény folytonos egy pontban, ez nem jelenti azt, hogy differenciálható ezen a ponton. Például, a függvény az y = | x | x = 0 folytonos, de nem tudja tartani egy érintő, és így a származék nem létezik.
példa a-származék
Keresse meg a függvény deriváltját: y = 3x
megoldás:
Fogjuk használni az algoritmus származó keresést.
1) Egy fix érték X, értéke a függvény y = 3x
2) azon a ponton x + Ax, y = f (x + Ax) = 3 (x + Ax) = 3x + Ax 3
3) Find a növekmény funkció: Δy = f (x + Ax) -f (x) = 3x + 3 Ax-3x = 3Δx
4) alkotják a kapcsolatban:
5) Keresse meg a határ:
Válasz: F „(x) = 3
Find a függvény deriváltját y = 5x 2
megoldás:
Fogjuk használni az algoritmus származó keresést.
1) Egy fix érték X, értéke a függvény y = 5x 2
2) azon a ponton x + Ax, y = f (x + Ax) = 5 (x + Ax) ^ 2 = 5 (x 2 + 2xΔx + Ax 2)
3) Keresse meg a növekmény funkció:
Δy = f (x + Ax) -f (x) = 5x 2 + 10xΔx + 5Δx -5x 2 2 = 10xΔx + 5Δx 2
4) alkotják a kapcsolatban:
Find a származék y = 2x 2 -x + 1
Fogjuk használni az algoritmus származó keresést.
1) Egy fix érték X, értéke a függvény
2) azon a ponton x + Ax, y = f (x + Ax) = 2 (x + Ax) 2 - (x + Ax) + 1 = 2 (x 2 + 2xΔx + Ax 2) - (x + Ax) +1
Azt találjuk, a növekmény funkció: Δy = f (x + Ax) -f (x) = = 2x 2 + 4xΔx + 5Δx 2 - (x + Ax) + 1-2x 2 + x-1 = = 4xΔx + 5Δx 2 -Δx
3) alkotják a kapcsolatban: